凱利方程為一種「投注策略」，是一種根據機率透過數學公式尋找最佳投注比，來最大化資產幾何成長率的策略。但需注意的是，不同的機率分配下有不同的凱利方程，所以建議對項目有一定了解在使用，本篇文章將以二項分配來進行說明。
二項分配( Binomial Distribution ) 介紹
二項分配為離散型機率分配，在每次試驗中只會有兩種結果，舉例來說，多次投硬幣行為即是一種二項分配，每次投硬幣的試驗中只會有正面及反面兩種結果，以下為二項分配機率質量函數 ( pmf ) 為 $$ f(x) = \binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{(n-x)},x=0,1,… ,n $$
用投擲硬幣來進行說明的話，p為正面機率，1-p為反面機率，n為投擲次數，x為投擲n次下正面次數，n-x為反面次數。
二項分配下凱利方程推導
想像一下，現在我們開始來玩投硬幣的遊戲，假設本金為X0 ，贏的機率為p，輸的機率為q，每次投注比率為f，賠率為 1 : b，則投注n次後資產的變動公式為
$$ X_n=X_0 (1+bf)^{np} (1-f)^{nq} $$
我們玩這個遊戲的目標只有一個，在知道輸贏機率的前提下，最大化幾何資產增長率，要將資產增長率最大化，需要知道每場遊戲的投注比率f，所以接下來將用數學推導，教你們如何透過上式得出最佳投注比率f*。
首先我們將X0移到左側即可得到資產成長率。
$$ 資產增長率=\frac{X_n}{X_0}=(1+bf)^{np} (1-f)^{nq} $$
接著我們將Xn/X0開n次根號並取ln即可得到每次投注的幾何資產增長率，我們將此式定義為G(f)，並稍微整理一下
$$ G(f)=\ln\sqrt[n]{\frac{X_n}{X_0}}=p\ln(1+bf)q\ln(1-f) $$
接下來的目標即是極大化G(f)並找到最佳投注比f*，那要找出極大值G(f)即是找到G(f)一階微分下斜率為0的點，所以我們將G(f)做一階微分並假設為0，如同以下這樣
$$ G^{’}(f)=\frac{bp}{(1+bf)}+\frac{q}{(1-f)}=0 $$
最後只要將公式稍微整理一下即可得出最佳投注比f*
$$ f^{*}=\frac{(bp-q)}{b} $$
以上就是二項方程下之凱利方程的推導。
凱利方程實例
同樣以投擲硬幣來做舉例，今天假設有不公平之硬幣，投擲正面的機率為60%，反面機率為40%，只要投到正面即可得到投注額2倍報酬，反面則全輸光，那我們每把應該投注多少才能得到最高的資產增長率呢？ 經過剛剛的推導我們已經知道最佳投注比率f*的公式為
$$ f^{*}=\frac{(bp-q)}{b} $$
所以只要將數據直接帶入即可得出f*=0.4，這表示我們只要每把都投入40%的資產即可得到極大化的幾何資產成長率，以上就是凱利方程的應用。
參考資料
The Kelly Criterion and the Stock Market
The Kelly Criterion : Implementation, Simulation and Backtest